2019년 고3 3월 모의고사 20번

01

(가) 조건을 활용하기 위해서 $g(x)$를 미분하면

$$\begin{aligned} g'\left( x \right) &=\cos \left( f \left( x \right) \right) -f'\left( x \right)\\ &=\left( 2x+a\right) \cdot \cos \left( x^{2}+ax+b\right) \end{aligned}$$

여기에 (가) $g(-x)=-g(x)$를 이용하면

$$g'\left( -x\right) =\left( -2x+a\right) \cdot \cos \left( x^{2}-ax+b\right)$$

(나)- $(k,\ g(k))$는 변곡점인것을 이용하기 위해서 이계미분하면

$$g''\left( x\right) =-\left( 2x+a\right) ^{2}.\sin \left( x^{2}+ax+b\right) +2\cdot \cos \left( x^{2}+ax+b\right)$$
이고 변곡정의 성질을 이용하면

$g''\left( k\right) =-\left( 2k+a\right) ^{2}.\sin \left( k^{2}+ak+b\right) +2\cdot \cos \left( k^{2}+ak+b\right)=0$
따라서

$$\tag{1} \tan \left( k^{2}+ak+b\right) =\dfrac {2} {\left( 2k+a\right) ^{2}}$$

(나) $2k\cdot g(k)= \sqrt 3g'(k)$ 를 이용하면

$$\tag{2} 2k\cdot \sin \left( k^{2}+ak+b\right)=\sqrt 3 \cdot \left( 2k+a\right) \cdot \cos \left( k^{2}+ak+b\right)$$
(2)식 양변에 $2k\cdot \cos \left( k^{2}+ak+b\right)$ 를 나누면

$$\tag{3} \tan \left( k^{2}+ak+b\right) =\dfrac {\sqrt {3}\left( 2k+a\right) } {2k} $$

(2)=(3)이므로

$$\tag{4} \dfrac {2} {\left( 2k+a\right) ^{2}}=\dfrac {\sqrt {3}\left( 2k+a\right) } {2k}$$

위 식을 풀기위해서 (가)를 이용하면

$$g'(0)=0$$

이고, 따라서

$$g'(0)=\left( a\right) \cdot \cos \left( b\right)=0$$

$0 < \ b \ < \dfrac {\pi} {2}$이므로 $\cos \left( b\right)\ne 0$이다. 따라서

$$a=0$$

(4)에 $a=0$ 을 대입하면 $\dfrac {1} {2k^{2}}=\sqrt {3}$이고

$$\therefore k^{2}=\dfrac {1} {2\sqrt {3}} =\dfrac {\sqrt 3} {6}$$

(3)에 $a=0$ 을 대입하면

$$\tan \left( k^2 +b\right) =\tan \left( \dfrac {\sqrt {3}} {6}+b\right) =\dfrac {1} {2k^{2}}=\sqrt {3}$$

따라서

$$ \dfrac {\sqrt {3}} {6}+b = \dfrac {\pi}{3} +n \pi$$

$0 < \ b \ < \dfrac {\pi} {2}$이므로 $\ b= \dfrac {\pi}{3}-\dfrac {\sqrt {3}} {6}$

$$\therefore a+b= \dfrac {\pi}{3}-\dfrac {\sqrt {3}} {6}$$